Получение системы дифференциальных уравнений первого порядка по дифференциальному уравнению высокого порядка

Проведение расчётов и моделирование процессов в большинстве случаев осуществляется по системе дифференциальных уравнений (СДУ) первого порядка.
Для того, чтобы выполнить расчёт и моделирование дифференциального уравнения второго, третьего или более высокого порядка, необходимо его привести к СДУ первого порядка.
В этом случае вводятся дополнительные переменные, связывающие соответствующие степени производных переменных исходного дифференциального уравнения.

В этом случае необходимо в левой части уравнения выразить и оставить только производную самой высокой степени, а всё остальное перенести в правую часть.

Далее необходимо выполнить подстановку в правой части:
- переменная x заменяется на x1;
- первая производная x' заменяется на x2 (соответственно, x1' = x2);
- вторая производная x'' заменяется на x3 (соответственно, x2' = x3);
- третья производная x''' заменяется на x4 (соответственно, x3' = x4);
и т.д.
В левой части с учётом того, что x' = (x)', x''=(x')', x'''=(x'')', осуществляется замена производной старшей степени на последнюю введённую подстановку.

Пример. Дифференциальное уравнение второго порядка приведено ниже.
x'' + 3x' + x = 5.
Выражается переменная x'' как имеющая наибольший порядок дифференцирования.
x'' = 5 - 3x' - x.
Вводятся подстановки x = x1, x' = x2.
x'' = 5 - 3x2 - x1.
Так как x'' = (x')', что соответствует (x2)', то
x2' = 5 - 3x2 - x1.
Кроме полученного уравнения необходимо записать производные всех ранее введенных подстановок за исключением последней.
x1' = x2.
В результате итоговая СДУ имеет вид:
x1' = x2.
x2' = 5 - 3x2 - x1.