Получение уравнений по структурной схеме

Для упрощения последующих записей рекомендуется привести старший коэффициент знаменателя динамических звеньев к 1.

Получение уравнений для передаточной функции 1-го порядка

Передаточная функция в общем виде имеет вид: W(s)=(b₀+b₁s)/(a₀+a₁s)
Тогда система дифференциальных и алгебраических уравнений запишется следующим образом:
| x1' = 0*x1 - a0*Y + b0*U
| 0 = 1*x1 - a1*Y + b1*U
Выразив Y из алгебраического уравнения, получим:
| Y = (1/a1)*x1 - (b1/a1)*U
Подставив Y в дифференциальное уравнение, получим:
| x1' = (-a0/a1)*x1 + (b0-a0*(b1/a1))*U
Пространство состояний имеет вид:
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
Матрицы A, B, C, D равны:
A = [ (-a0/a1) ]
B = [ (b0-a0*(b1/a1)) ]
C = [ (1/a1) ]
D = [ (b1/a1) ]
При единичном значении старшего коэффициента a1 знаменателя W(s) матрицы примут вид:
A = [ -a0 ], B = [ b0-a0*b1 ], C = [ 1 ], D = [ b1 ].
При отсутствии старшего коэффициента b1 числителя W(s) матрицы примут вид:
A = [ -a0 ], B = [ b0 ], C = [ 1 ], D = [ 0 ].

Получение уравнений для передаточной функции 2-го порядка

Передаточная функция в общем виде имеет вид: W(s)=(b₀+b₁s+b₂s²)/(a₀+a₁s+a₂s²)
Тогда система дифференциальных и алгебраических уравнений запишется следующим образом:
| x1' = 0*x1 + 0*x2 - a0*Y + b0*U
| x2' = 1*x1 + 0*x2 - a1*Y + b1*U
| 0 = x2 - a2*Y + b2*U
Выразив Y из алгебраического уравнения, получим:
| Y = (1/a2)*x2 - (b2/a2)*U
Подставив Y в дифференциальное уравнение, получим:
| x1' = (-a0/a2)*x2 + (b0-a0*(b2/a2))*U
| x2' = (1)*x1 + (-a1/a2)*x2 + (b1-a1*(b2/a2))*U
Пространство состояний имеет вид:
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
Матрицы A, B, C, D равны:
A = [
| 0 (-a0/a2)
| 1 (-a1/a2)
]
B = [
| (b0-a0*(b2/a2))
| (b1-a1*(b2/a2))
]
C = [ (0) (1/a2) ]
D = [ (b2/a2) ]
При единичном значении старшего коэффициента a2 знаменателя W(s) матрицы примут вид:
A = [
| 0 -a0
| 1 -a1
]
B = [
| b0-a0*b2
| b1-a1*b2
]
C = [ 0 1 ]
D = [ b2 ]
При отсутствии старшего коэффициента b2 числителя W(s) матрицы примут вид:
A = [
| 0 -a0
| 1 -a1
]
B = [
| b0
| b1
]
C = [ 0 1 ]
D = [ 0 ]

Получение уравнений для передаточной функции 3-го порядка

Передаточная функция в общем виде имеет вид: W(s)=(b₀+b₁s+b₂s²+b₃s³)/(a₀+a₁s+a₂s²+a₃s³)
Пространство состояний имеет вид:
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
При отсутствии старшего коэффициента b3 числителя и единичном коэффициенте a3 знаменателя W(s) матрицы A, B, C, D примут вид:
A = [
| 0 0 -a0
| 1 0 -a1
| 0 1 -a2
]
B = [
| b0
| b1
| b2
]
C = [ 0 0 1 ]
D = [ 0 ]

Получение уравнений для передаточной функции 4-го порядка

Передаточная функция в общем виде имеет вид: W(s)=(b₀+b₁s+b₂s²+b₃s³+b₄s⁴)/(a₀+a₁s+a₂s²+a₃s³+a₄s⁴)
Пространство состояний имеет вид:
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
При отсутствии старшего коэффициента b4 числителя и единичном коэффициенте a4 знаменателя W(s) матрицы A, B, C, D примут вид:
A = [
| 0 0 0 -a0
| 1 0 0 -a1
| 0 1 0 -a2
| 0 0 1 -a3
]
B = [
| b0
| b1
| b2
| b3
]
C = [ 0 0 0 1 ]
D = [ 0 ]

Матричная математическая модель системы

Переход от сложной структурной схемы системы к системам дифференциальных и алгебраических уравнений удобно провести при помощи построения матричной математической модели.

Процесс получения матричной математической модели происходит поэтапно и, например, для системы, представленной на рисунке, состоит в следующем.Первым действием необходимо провести последовательную сквозную нумерацию звеньев согласно типу звена: динамические звенья, усилительные звенья, суммирующие звенья и нелинейные звенья.

Таким образом, первоначально на схеме пронумерованы 2 динамических звена, затем 2 усилительных звена, 2 суммирующих звена и 1 нелинейное звено (см. рисунок).После проведения нумерации звеньев выходной сигнал для удобства определяется как Y с индексом, равным номеру звена (см. рисунок).Переменные состояния указываются только для динамических звеньев и содержат два индекса - номер звена на схеме и номер переменной состояния в передаточной функции. Число переменных состояния равно порядку полинома знаменателя передаточной функции.

Количество дифференциальных уравнений равно 3 (число переменных состояния), а количество алгебраических уравнений равно 7 (число звеньев). Тогда матричная математическая модель будет иметь 3+7 строк и 3+7+1 столбцов.
В общем виде матричная математическая модель состоит из 6 подблочных матриц, причём 3 подматрицы в верхней части матрицы отведены для дифференциальных уравнений, а 3 подматрицы в нижней части - для алгебраических уравнений (см. рисунок).
Заполнение матричной математической модели осуществляется путём последовательного рассмотрения каждого звена системы в зависимости от его типа. Каждое звено имеет только 1 строку в нижней части матрицы, соответствующую номеру звена, и, в случае, если звено является динамическим, то имеет строки в верхней части, соответствующие переменным состояния этого звена.

1. Динамические звенья заполняются в верхней и нижней частях матрицы.
а). В верхней средней части на пересечении со строками переменных состояния выделяется столбец, соответствующий выходу звена. В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в этом же столбце. В отмеченных ячейках с обратным знаком сверху вниз записываются коэффициенты полинома знаменателя, начиная со свободного члена.
б). В верхней средней части на пересечении со строками переменных состояния выделяется столбец, соответствующий входу звена. В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в этом же столбце. В отмеченных ячейках со своим знаком сверху вниз записываются коэффициенты полинома числителя, начиная со свободного члена. Если на звено напрямую действует внешнее воздействие, то входным столбцом является последний 1(t), в который необходимо по такому же правилу записать коэффициенты, но дополнительно их умножить на величину внешнего воздействия.
в). В верхней левой части на пересечении строк и столбцов переменных состояния записывается подматрица, в которой по диагонали ниже главной расположены единицы, а остальные нули.
г). В нижней левой части на пересечении строки с номером звена и столбцов с переменными состояния записывается подматрица, в которой в самой правой ячейке расположена единица, а остальные нули.

2. Усилительные звенья заполняются в нижней части матрицы.
а). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в столбце, соответствующем выходу звена, в которой записывается "-1".
б). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в столбце, соответствующем входу звена записывается коэффициент усиления. Если на звено напрямую действует внешнее воздействие, то входным столбцом является последний 1(t), в который необходимо записать коэффициент усиления, умноженный на величину внешнего воздействия.

3. Суммирующие звенья заполняются в нижней части матрицы.
а). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в столбце, соответствующем выходу звена, в которой записывается "-1".
б). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяются ячейки в столбцах, соответствующим входным воздействиям звена, в которых записывается "+1", если знак на сумматоре положительный, "-1", если знак на сумматоре отрицательный. Если на звено напрямую действует внешнее воздействие, то в столбце 1(t) записывается знак сумматора, умноженный на величину внешнего воздействия.

4. Нелинейные звенья заполняются в нижней части матрицы.
а). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в столбце, соответствующем выходу звена, в которой записывается "-1".
б). В нижней средней части на пересечении со строкой номера звена выделяется ячейка в столбце, соответствующем входу звена записывается функция преобразования от входа звена, деленная на вход звена. Если на звено напрямую действует внешнее воздействие, то входным столбцом является последний 1(t), в который необходимо записать функцию преобразования от величины внешнего воздействия.

Схематично процесс заполнения матричной математической модели исследуемой системы представлен на рисунке.По верхней части матричной математической модели путем перемножения матриц записывается система дифференциальных уравнений.
По нижней части матричной математической модели путем перемножения матриц записывается система алгебраических уравнений.

Примеры составления математических моделей

Принципы составления математических моделей систем удобнее рассматривать на частных абстрактных примерах, для которых часть информации о системе можно опустить.

Пример 1. Динамическое звено и внешнее воздействие изображены на рисунке.
Тогда матричная математическая модель изучаемой системы примет следующий вид:
Пример 2. Динамическое звено и Усилительное звено с внешним воздействием изображены на рисунке.
Тогда матричная математическая модель изучаемой системы примет следующий вид:
Пример 3. Система со всеми типами элементов представлена на рисунке.
Тогда матричная математическая модель изучаемой системы примет следующий вид:

Получение дифференциальных и алгебраических уравнений для системы 3 порядка, на вход и выход которой действуют шумы.

Структурная схема рассматриваемой модели системы имеет следующий вид:
Выполняется сквозная нумерация элементов системы:
Составляется матричная математическая модель системы, причем для U и V введены отдельные столбцы:Таким образом, по матричной математической модели будут получены подматрицы:В результате система дифференциальных и алгебраических уравнений с использованием полученных матриц будет иметь вид: