Теория подобия и моделирования (ТПиМ)
Применение информационных технологий при проектировании систем управления способствует развитию математического моделирования. Благодаря этому совершенствуются не только математические методы решения задач, но и программное обеспечение, реализующее соответствующие алгоритмы. Кроме того, зарождаются новые перспективные направления в теории математического моделирования, ориентированные на анализ и синтез сложных систем.
Сложную систему в некоторых случаях нельзя расчленить на отдельные подсистемы. Если сложную систему удается разделить на части, то образуются автономные подсистемы.
Сложным системам присущи следующие признаки.
1. Наличие цели оптимизации.
2. Отыскание условий оптимизации и ограничений.
3. Управление на основе приема, хранения, обработки информации.
4. Корректировка динамических свойств на основе обратных связей.
5. Учет взаимодействий с внешней средой.
6. Отражение вероятностных факторов.
Разделом технической кибернетики, наукой об оптимальном управлении в самоорганизующихся и саморазвивающихся сложных системах является теория подобия.
В основе моделирования лежит теория подобия, согласно которой абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим, точно таким же. При моделировании невозможно добиться абсолютного подобия и нужно стремиться к тому, чтобы модель в достаточной степени отражала исследуемую сторону функционирования объекта.
Подобие и моделирование позволяет систематизировать, обобщать и закономерно формализовать подход к изучению явлений и систем, при исследовании которых особую роль играют методы эксперимента.
Моделирование подразделяется:
1. Теория подобия и моделирования – позволяет найти общие черты явлений, планировать и осуществлять эксперимент, обрабатывать экспериментальные данные.
2. Основы применения вычислительной техники.
3. Теория сведений об информационных режимах системы.
4. Теория информационных режимов автоматизированных систем.
Подобие и моделирование начинают рассматривать в широком смысле, когда объекты объединяются в группы по сложным признакам, а не только по принципу сходства. Моделирование становится основой для исследования экспериментов не только физических, но математических и мысленных (меняется понятие подобия и моделирования).
Общая задача теории подобия и моделирования заключается в выработке методологии, направленной на упорядоченное получение информации об объектах, существующих вне нашего сознания и взаимосвязанных между собой. При недостатке информации об объектах выдвигают гипотезы, а для их проверки используют метод аналогий.
Аналогия – суждение о сходстве двух объектов, позволяющая, на основе сходства рассматриваемых объектов в одних отношениях, судить о сходстве других.
Аналогии, отражающие физические объекты мира, должны иметь наглядность или сводиться к некоторым удобным для анализа структурам. Совокупности таких структур представляют собой модель исследуемого объекта.
Модель – это естественный или искусственный объект, находящийся в соответствии с изучаемым объектом или его свойствами.
Моделирование – это познавательный процесс, содержащий переработку информации, поступающей из внешнего мира, когда в сознании возникают образы, имеющие сходство с соответствующими объектами. Сумма образов позволяет изучать свойства и взаимосвязи объектов.
Мысленная модель – это математическая запись, составленная на основе суммы образов и содержащая описание физических закономерностей. Кроме того, имеются и дополнительные трактовки понятия моделирования, используемые при теоретическом и экспериментальном (виртуальном) рассмотрении исследуемого объекта.
Моделирование – это создание некоторой системы (системы моделей), имеющей определенное сходство с оригиналом.
Моделирование – это воспроизведение процессов объекта по адекватной модели этого объекта.
Моделирование – это совокупность действий по проектированию модели реальной системы с целью изучения природы системы, возможностей ее структурного развития или прогнозирование поведения.
Моделирование – это процесс тестирования спроектированной системы, позволяющий предсказать или оценить процессы предложенной модели относительно процессов реального объекта.
Классификация подобия и моделирования по Веникову В.А. представлена на рисунке. Одним из признаков классификации видов моделирования обычно выбирается степень полноты модели, которая разделяет модели на полные, неполные и приближенные. Основой полного моделирования является полное подобие, которое проявляется как во времени, так и в пространстве. Для неполного моделирования характерно неполное подобие модели изучаемому объекту, включающее основные характеристики изучаемого объекта и исключающее другие (возможно подобие в пространстве или во времени). Приближенное моделирование опирается на приближенное подобие, при котором отдельные стороны функционирования реального объекта не моделируются совсем.
Кроме того, модели изучаемых объектов также имеют классификацию по признакам:
1. Адекватность модели исходному процессу или оригиналу (критерии адекватности: время переходного процесса, колебательность, область устойчивости и т.д.).
2. По виду модели или конструкции, по форме, языку: логические (таблицы и графики), математические (аналитические зависимости, определяющие условия функционирования) и физические модели (соответствие объекта-оригинала исследуемому объекту).
3. По виду моделирования.
4. По методам решения задач моделирования.
Необходимо отметить, что при аналитическом моделировании процесс функционирования элементов системы описывается в виде некоторых функциональных соотношений или логических условий. В этом случае модель исследуется аналитическим (характеристики определяются в общем виде), численным (получение числовых результатов при конкретных начальных условиях) и качественным (установление некоторых свойств по самой модели) методами. Аналитический метод широко применяется для простых систем. Численный метод позволяет исследовать широкий класс систем, но при этом полученные решения носят частный характер, и эффективен при применении ЭВМ. При имитационном моделировании имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.
Этапы построения математических моделей
Построение математических моделей объектов и систем осуществляется последовательно по этапам, на каждом из которых проводятся соответствующие проверки, а также производится документирование выполненных действий. Различают 3 этапа построения математических моделей (см. рисунок):
1. Формулировка замысла модели.
2. Реализация модели.
3. Получение и анализ результатов.
На первом этапе строится предполагаемая модель в абстрактных терминах.
1. Постановка задачи.
2. Определение требований к информации.
3. Сбор информации.
4. Выдвижение гипотез и предположений (при недостатке информации).
5. Анализ проблем (задачи).
6. Определение параметров и переменных (согласно обозначениям по ГОСТ).
7. Выбор критериев эффективности (например, надёжность, качество работы, время, вероятности различных событий, характеристики времени функционирования, характеристики измерений, ошибки и так далее).
Для каждого из критериев создается словесная формулировка, затем математическое описание.
8. Составление, обоснование модели.
9. Определение аппроксимирующих выражений (математическая модель системы должна быть детерминированная, стохастическая, усреднённая).
10. Описание замысла модели.
11. Проверка модели (осуществляется компетентными людьми).
12. Документирование первого этапа.
На втором этапе необходимо проверять соответствие размерностей слагаемых в уравнениях.
1. Вывод детальных математических уравнений модели.
2. Составление блок-схемы модели.
3. Проверка блок-схемы (включает в себя анализ значений рассматриваемых характеристик с целью определения для системы резервов и допустимых интервалов изменения параметров).
4. Составление блок-схемы программы.
5. Проверка блок-схемы программы.
6. Составление программы математической модели.
7. Проверка программы математической модели.
8. Выбор вычислительных средств.
9. Составление спецификаций для программ (каждый параметр должен быть описан, а также описана область его применения).
10. Составление плана рабочих расчётов.
11. Планирование эксперимента с моделью.
12. Документирование второго этапа.
На третьем этапе проводится тщательная проверка созданной модели, а также проводятся специальные испытания.
1. Выполнение рабочих расчётов.
2. Анализ результатов (теоретический и экспериментальный анализ).
3. Получение поверхностей отклика.
4. Вывод уравнения регрессии.
5. Оценка обобщённых результатов.
6. Получение выводов.
7. Выдача рекомендаций по применению модели.
8. Документирование третьего этапа.
При построении модели возможно возвращение на предыдущие этапы в связи с получением неудовлетворительных результатов или с возникновением ошибок. Проектирование осуществляется до тех пор, пока не будут устранены все недостатки. Полученная модель должна удовлетворять всем основным выбранным критериям адекватности.
Теоремы подобия
Теория подобия и моделирования изучает подобные явления и методы их установления.
Явления – это совокупность процессов, то есть изменения в системе, при этом отличают параметры процессов и параметры системы. Если наиболее существенные, с точки зрения поставленной задачи, процессы подобны, то система, в которой они происходят, считаются подобными.
Теорема подобия 1. Явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, математически и т.д.), имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.
Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона-Бертрана.
Критерии подобия являются безразмерной величиной. Над ними можно проводить арифметические действия (умножение, деление, сложение, вычитание). При получении критериев подобия звеньев, содержащих операции дифференцирования и интегрирования, знаки дифференцирования и интегрирования отбрасываются.
Теорема подобия 2 (π-теорема) утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение эквивалентно выражению, включающему множество из p=n–k безразмерных величин, построенных из исходных переменных. Это позволяет вычислять множество безразмерных величин по данным физическим значениям, даже если неизвестно выражение, связывающее эти значения. Способ выбора множества безразмерных параметров не единственный: π-теорема демонстрирует, как это можно сделать, но не обеспечивает, что полученные параметры будут наиболее «физически значимыми».
Теорема подобия 3. Необходимыми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева-Гухмана.
Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:
1. Геометрические свойства системы, в которой протекает процесс.
2. Физические параметры среды и тел, образующих систему.
3. Начальное состояние системы (начальные условия).
4. Условия на границах системы (граничные или краевые условия).
5. Взаимодействие объекта и внешней среды.
Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения.
Вторая формулировка третьей теоремы подобия состоит из трёх положений:
Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.
Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.
Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.
Дополнения к теории подобия
Дополнение 1. О подобии сложных систем. Подобие систем А и В, состоящих из отдельных подсистем, обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющимися общими для рассматриваемых подсистем.
Дополнение 2. О подобии нелинейных систем. Подобие в нелинейных системах обеспечивается путём совпадения относительных характеристик, сходственных параметров в рассматриваемых подсистемах.
Дополнение 3. О подобии в неоднородных и анизотропных средах. Подобие в анизотропных средах достигается за счёт совпадения относительной анизотропии (свойств по соответствующим направлениям), выраженных в соответствующих относительных характеристиках.
Дополнение 4. О подобии физических явлений при отсутствии геометрического подобия. В системах, геометрически не подобных, но имеющих подобие нелинейного пространства, процессы могут быть физически подобны, если они имеют в соответствующих точках подобные изменения пространства.
Дополнение 5. О подобии вероятностных стохастических систем. Ранее полученные сведения для детерминированных систем распространяются на стохастические (вероятностные) системы, подобие в которых обеспечивается совпадением для рассматриваемых систем плотностей вероятностей сходственных параметров, представленных в относительных характеристиках.
Кроме указанных выше видов подобия имеются следующие виды подобия:
1. Квазиподобие – одинаковые по форме дифференциальные уравнения (физическое и аналоговое подобие).
2. Функциональное подобие – подобие между соответствующими функциями (различные виды интегрального подобия, квадратичного подобия).
3. Эквивалентное подобие – подобие алгоритмов относительно результатов (скорость, сходимость, точность).
4. Кибернетическое подобие – подобие реакций на соответствующее воздействие и подобие структур при действии всех обратных связей в системе.
5. Интегральное подобие – подобие между функциональными областями.
