Для моделирования систем различной физической природы (электрических, механических, поступательно-вращательных, тепловых и т.д.) можно эффективно использовать метод физических аналогий.
Состояние эквивалентной схемы в любой момент времени характеризуется переменными двух типов: «поток» и «потенциал», а также уравнениями связи между ними. Для потоков и потенциалов используются соответствующие уравнения (аналог 1 и 2 законам Кирхгофа).
Для получения математических моделей подсистем различной физической природы необходимо:
1. Составить с учетом физических законов эквивалентную схему, используя компонентные и топологические уравнения, при этом выделяются аналогии массовых элементов в виде двухполюсников, один узел которых связан с системой отсчета, через другой осуществляется взаимодействие. Выделяются элементы трения и упругие элементы. Необходимо четко оговаривать допущения, при этом внешние воздействия (источники тока, потока, ЭДС) считаются заданными.
2. По эквивалентной схеме составляется структурная схема. Целесообразно составлять схему таким образом, чтобы не было дифференцирующих элементов. Если они появляются, нужно учесть дополнительные факторы, которые его погасят, либо использовать теорию графов. Топологические вырождения появляются, если имеются индуктивные сечения и емкостные контура.
3. После составления структурной схемы осуществляется моделирование и анализ полученных результатов.
Для получения математических моделей сложных подсистем различной физической природы необходимо:
1. Выделить соответствующие подсистемы.
2. Составить эквивалентные схемы.
3. Установить связь между подсистемами.
4. На основе эквивалентных схем составить структурные схемы.
5. По структурной схеме выполнить моделирование.
Для выполнения такого перехода применяется метод аналогий, который как метод моделирования систем различной физической природы основан на замещении типовых элементов схем на звенья структурной схемы системы с учётом протекающих в них процессов.
Метод аналогий для построения структурной схемы по электрической схеме
Аналоги электрических элементов, а также их уравнения, представлены на рисунке.
Источник напряжения E (ЭДС) и источник тока J на структурной схеме принимаются за внешние воздействия с соответствующими величинами. Для электрической схемы составляются уравнения токов и напряжений, а их суммы реализуются при помощи структурных элементов типа «сумматор». Полученная структурная схема должна быть замкнутой и содержать все электрические элементы.
Применение теории графов для построения структурной схемы системы
Получение структурной схемы по эквивалентной схеме удобно осуществить при помощи использования теории графов, которая содержит алгоритмы и методы, позволяющие строить по эквивалентным схемам (аналог электрической принципиальной схемы) систем описание в виде совокупности дифференциальных и алгебраических уравнений.
Граф – это совокупность вершин (узлов) и связей между ними в виде ребер (ветви). Совокупность ветвей образует маршрут. Замкнутый круг возникает, если маршрут начинается и заканчивается в том же узле.
Для получения дифференциальных и алгебраических уравнений необходимо строить фундаментальное дерево, в которое входят все узлы и соответствующие ветви без образования замкнутых контуров. При построении фундаментального дерева все электрические элементы заменяются ветвями и хордами с соответствующими направлениями. Хорда – это ветвь, включение которой между узлами приведёт к замыканию. Совокупность ветвей, которые окажутся замкнутыми хордой, называется контуром хорды.
Построение фундаментального дерева
При построении дерева выделяются и нумеруются узлы – места соединения электрических элементов. Если между узлами имеется идеальная связь (нет элемента), то эти узлы рассматриваются как один узел. Далее последовательно рассматриваются элементы коллекций E, C, R, L, I на возможность получения статуса ветви, а не хорды. Если в фундаментальном дереве можно соединить два узла, принадлежащих рассматриваемому элементу, без замыкания контура, то элемент имеет статус ветви. В противном случае элемент рассматривается как хорда.
Для каждой ветви и хорды задаётся направление, соответствующее направлению протеканию по ним тока. Он всегда направлен вверх (или вправо) от источника ЭДС или источника тока. В отличие от источника тока направление на самом источнике ЭДС имеет обратное направление (вниз, влево).
Так, для исследуемой эквивалентной электрической схемы, представленной на рисунке, фундаментальное дерево будет построено в последовательности E, R1, R2, L.
Получение матрицы связи, систем уравнений для напряжений и токов
Согласно полученному фундаментальному дереву с учётом направлений составляется матрица связей, в которой в строках записываются направления в контурах хорды, а в столбцах – ветви, входящие в этот контур. Если направление в ветви совпадает с направлением хорды, то связь положительная (+1), иначе связь отрицательная (–1). Если элемент не участвует в замыкании контура хордой, то его значение нейтрально (0).
Для рассматриваемого фундаментального дерева матрица связей имеет следующий вид:
Из методов теории графов следует, что напряжения на хордах и токи в ветвях взаимосвязаны с матрицей связей. Эти связи выражены в следующих уравнениях:
С учётом приведённых формул формируются соответствующие уравнения для рассматриваемой системы:
Системы уравнений для напряжений и токов в матричной форме раскрываются и используются при составлении структурной схемы исследуемой системы:
Получение структурной схемы
Построение структурной схемы системы по уравнениям рекомендуется производить в следующем порядке. Сначала в модель системы включаются внешние воздействия, соответствующие источникам напряжения и токов, а затем сумматоры, выходы которых считаются известными, соответствующими и равными уравнениям, в которых имеются несколько слагаемых. Далее в зависимости от типа электрического элемента добавляются блоки, выходы которых считаются известными. После этого известные выходы звеньев соединяются с соответствующими известными входами, а также реализуются остальные уравнения токов и напряжений.
В результате для исследуемой системы будет получена структурная схема:
Пример № 1
Исследуемая система представлена на рисунке и состоит из источника ЭДС, трёх ёмкостей, шести сопротивлений, трёх индуктивностей и источника тока. Направления движения тока сначала проставляются в контурах с источниками ЭДС и тока, а затем направления указываются на остальных элементах с учётом законов Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, причём входящий в узел ток записывается с положительным знаком, а выходящий ток – с отрицательным.
Фундаментальное дерево для рассматриваемой схемы строится в следующей последовательности: E1, C1, C2, C3 - ветви; С4 - хорда; R1, R2 - ветви; R3 - хорда; R4, R5, R6, L1 - ветви; L2, L3, J1 - хорды. Тогда полученное фундаментальное дерево имеет следующий вид:
По полученному фундаментальному дереву составляется матрица связей, которая представлена в графической форме на рисунке:
Пример № 2
Исследуемая эквивалентная схема представлена на рисунке
Фундаментальное дерево для рассматриваемой системы представлено на рисунке и содержит ветви E1, C1, C2, R2, а также хорды R1, L1, J1.
По фундаментальному дереву составляется матрица связей и записываются системы уравнений для токов и напряжений, которые имеют следующий вид:
По полученным уравнениям строится структурная схема системы, которая представлена на рисунке:
Пример № 3
Исследуемая эквивалентная схема представлена на рисунке
Фундаментальное дерево для рассматриваемой системы представлено на рисунке и содержит ветви E1, C1, C2, R1, R2, а также хорды L1, L2, J1.
По фундаментальному дереву составляется матрица связей и записываются системы уравнений для токов и напряжений, которые имеют следующий вид:
По полученным уравнениям строится структурная схема системы, которая представлена на рисунке:
Пример № 4
Исследуемая эквивалентная схема представлена на рисунке
Фундаментальное дерево для рассматриваемой системы представлено на рисунке 30 и содержит ветви E1, C1, C2, C3, R1, R2, R3, а также хорды L1, L2, J1.
По фундаментальному дереву составляется матрица связей и записываются системы уравнений для токов и напряжений, которые имеют следующий вид:
По полученным уравнениям строится структурная схема системы, которая представлена на рисунке:
