VS
Программы
Пособия
Сейсмонитор
en
 

3. Основные сведения из теории подобия

Теоремы подобия

Теория подобия и моделирования изучает подобные явления и методы их установления.

Явления – это совокупность процессов, то есть изменения в системе, при этом отличают параметры процессов и параметры системы. Если наиболее существенные, с точки зрения поставленной задачи, процессы подобны, то система, в которой они происходят, считаются подобными.

Теорема подобия 1. Явления, подобные в том или ином смысле (полно, приближенно, физически, математически и т.д.), имеют определенные сочетания параметров, называемые критериями подобия, численно одинаковые для подобных явлений.

Первая теорема подобия называется также теоремой Ньютона или Ньютона-Бертрана.

Критерии подобия являются безразмерной величиной. Над ними можно проводить арифметические действия (умножение, деление, сложение, вычитание). При получении критериев подобия звеньев, содержащих операции дифференцирования и интегрирования, знаки дифференцирования и интегрирования отбрасываются.

Теорема подобия 2 (π-теорема) утверждает, что если имеется физически значимое выражение, включающее в себя n физических переменных, и эти переменные описываются при помощи k независимых фундаментальных физических величин, то исходное выражение эквивалентно выражению, включающему множество из p=n–k безразмерных величин, построенных из исходных переменных. Это позволяет вычислять множество безразмерных  величин по данным физическим значениям, даже если неизвестно выражение, связывающее эти значения. Способ выбора множества безразмерных параметров не единственный: π-теорема демонстрирует, как это можно сделать, но не обеспечивает, что полученные параметры будут наиболее «физически значимыми».

Теорема подобия 3. Необходимыми и достаточными условиями для создания подобия являются пропорциональность сходственных параметров, входящих в условия однозначности, и равенство критериев подобия сопоставляемых явлений. Третья теорема подобия именуется также обратной теоремой подобия или теоремой Кирпичева-Гухмана.

Условия, определяющие индивидуальные особенности процесса или явления и выделяющие из общего класса конкретный процесс или явление, называются условиями однозначности. К ним относятся следующие, не зависящие от механизма самого явления, факторы и условия:
1. Геометрические свойства системы, в которой протекает процесс.
2. Физические параметры среды и тел, образующих систему.
3. Начальное состояние системы (начальные условия).
4. Условия на границах системы (граничные или краевые условия).
5. Взаимодействие объекта и внешней среды.

Очевидно, нельзя математически формулировать условия однозначности в общем виде. В каждом конкретном случае они могут быть различны в зависимости от рода решаемой задачи и вида уравнения.

Вторая формулировка третьей теоремы подобия состоит из трёх положений:
Положение 1. Создание модели возможно, если критерии подобия (безразмерные комплексы), составленные из величин, характеризующих только ее системные (материальные) параметры, равны соответствующим критериям изучаемой системы-оригинала.

Положение 2. В созданной, согласно положению 1, модели осуществление процессов, подобных оригиналу, возможно, если критерии подобия, содержащие только параметры процессов, входящих в условия однозначности и в том числе начальные условия (параметры исходного режима, возмущений и отклонений), в модели и оригинале соответственно одинаковы.

Положение 3. Осуществление модели согласно формулировкам 1 и 2 возможно в сколь угодно сложных анизотропных, нелинейных или имеющих вероятностно заданные параметры системах при условии одновременного соблюдения соответствующих дополнительных положениях, сформулированных ниже.
 
Дополнения к теории подобия
 
Дополнение 1. О подобии сложных систем. Подобие систем А и В, состоящих из отдельных подсистем, обеспечивается подобием всех сходственных элементов, являющимися общими для рассматриваемых подсистем.

Дополнение 2. О подобии нелинейных систем. Подобие в нелинейных системах обеспечивается путём совпадения относительных характеристик, сходственных параметров в рассматриваемых подсистемах.

Дополнение 3. О подобии в неоднородных и анизотропных средах. Подобие в анизотропных средах достигается за счёт совпадения относительной анизотропии (свойств по соответствующим направлениям), выраженных в соответствующих относительных характеристиках.

Дополнение 4. О подобии физических явлений при отсутствии геометрического подобия. В системах, геометрически не подобных, но имеющих подобие нелинейного пространства, процессы могут быть физически подобны, если они имеют в соответствующих точках подобные изменения пространства.

Дополнение 5. О подобии вероятностных стохастических систем. Ранее полученные сведения для детерминированных систем распространяются на стохастические (вероятностные) системы, подобие в которых обеспечивается совпадением для рассматриваемых систем плотностей вероятностей сходственных параметров, представленных в относительных характеристиках.

Кроме указанных выше видов подобия имеются следующие виды подобия:
1. Квазиподобие – одинаковые по форме дифференциальные уравнения (физическое и аналоговое подобие).
2. Функциональное подобие – подобие между соответствующими функциями (различные виды интегрального подобия, квадратичного подобия).
3. Эквивалентное подобие – подобие алгоритмов относительно результатов (скорость, сходимость, точность).
4. Кибернетическое подобие – подобие реакций на соответствующее воздействие и подобие структур при действии всех обратных связей в системе.
5. Интегральное подобие – подобие между функциональными областями.

Метод аналогий

Для моделирования систем различной физической природы (электрических, механических, поступательно-вращательных, тепловых и т.д.) можно эффективно использовать метод физических аналогий.
Состояние эквивалентной схемы в любой момент времени характеризуется переменными двух типов: «поток» и «потенциал», а также уравнениями связи между ними. Для потоков и потенциалов используются соответствующие уравнения (аналог 1 и 2 законам Кирхгофа).
Топологические и компонентные уравнения для подсистем приведены в таблице 1.
Таблица 1
Аналогии для различных видов подсистем

 
Рейтинг@Mail.ru
Все материалы сайта принадлежат лично Василию Щербакову,
а также соответствующим авторам при указании ссылки. Администрация сайта не несет никакой ответственности за стороннюю информацию. Вы можете пожаловаться на контент, если он нарушил Ваши права. Для этого свяжитесь с администрацией.
Допускается использование материалов в некоммерческих или учебных целях с указанием ссылки на этот сайт.